Câu 62. Cho hai đa thức:

\(P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} - {1 \over 4}x\)

\(Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2} - {1 \over 4}\)

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).

c) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức P(x) nhưng không phải là nghiệm của đa thức Q(x).

Hướng dẫn làm :

a) Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần

\(P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} - {1 \over 4}x\)

\( = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - {1 \over 4}x\)

\(Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2} - {1 \over 4}\)

\( =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - {1 \over 4}\)

b) P(x) + Q(x) = \( ({x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - {1 \over 4}x)\) + \((- {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - {1 \over 4})\)

\( = 12{x^4} - 11{{\rm{x}}^3} + 2{{\rm{x}}^2} - {1 \over 4}x - {1 \over 4}\)

P(x) - Q(x) = \( ({x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - {1 \over 4}x)\) - \((- {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - {1 \over 4})\)

\( = 2{{\rm{x}}^5} + 2{{\rm{x}}^4} - 7{{\rm{x}}^3} - 6{{\rm{x}}^2} - {1 \over 4}x - {1 \over 4}\)

c) Ta có: \(P\left( 0 \right) = {0^5} + {7.0^4} - {9.0^3} - {2.0^2} - {1 \over 4}.0\)

=>x = 0  là nghiệm của P(x).

\(Q\left( 0 \right) =  - {0^5} + {5.0^4} - {2.0^3} + {4.0^2} - {1 \over 4} =  - {1 \over 4} \ne 0\)

=>x = 0 không phải là nghiệm của Q(x).