Câu 3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, hãy tính:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\)      (Đặt \(u= x+1\)) 

b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\)       (Đặt \(x = sint\) )

c) \(\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\)    (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))

d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (a > 0)   (Đặt \(x= asint\))

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(u= x+1 \Rightarrow  du =  dx\) và \(x = u - 1\).

Khi \(x =0\) thì \(u = 1, x = 3\) thì \(u = 4\). Khi đó :

\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) = \(\int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)

= \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4.u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=\frac{5}{3}\)

b) Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: \(dx = costdt\)

và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\)

Khi \(x = 0\) thì \(t = 0\), khi \(x = 1\) thì  \(t= \frac{\pi}{2}\) . Khi đó:

\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}tdt= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+cos2t)dt\)

\(=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)= \frac{\pi}{4}\)

c) Đặt: \(t = 1 + x{e^x} \Rightarrow dt = {e^x}(1 + x)dx\)

Khi \(x = 0 \Rightarrow t = 1\)

Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 1 + e\)

Do đó ta có:

\(\int\limits_0^1 {{{{e^x}(1 + x)} \over {1 + x{e^x}}}dx = \int\limits_1^{1 + e} {{{dt} \over t} = {\rm{[}}\ln |t|{\rm{]}}} } \left| {_1^{1 + e} = \ln (1 + e)} \right.\).

d) Đặt \(x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt\)

Đổi cận:

\(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = {a \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} \cr} \)

Do đó ta có:

\(\int\limits_0^{{a \over 2}} {{1 \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{a\cos tdt} \over {\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }} = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {dt = t\left| {_0^{{\pi  \over 6}} = {\pi  \over 6}} \right.} } } \).