Câu 5. Cho hàm số \(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) có đồ thị là (C_m), \(m\) là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\)

b) Xác định m để hàm số:

i) Đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\)

ii) Có cực trị trên khoảng \((-1, +∞)\)

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Trả lời:

\(y = 2x^2 + 2mx + m -1\) (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) \(m = 1 ⇒ y = 2x^2+ 2x\)

Tập xác định \(D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:
\(y' = 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = {{ - 1} \over 2} \)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(({-1\over2};+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; {-1\over2})\)

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x={-1\over2}\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)

- Giới hạn:

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)

Bảng biến thiên:

*Đồ  thị

Đồ thị hàm số giao trục \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((0;0)\)

b) Tổng quát \(y = 2x^2+ 2mx + m -1\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)

 \(y' = 4x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = {{ - m} \over 2}\)

Suy ra \(y’ >\) 0 với \(x > {{ - m} \over 2};y' < 0\) với \(x < {{ - m} \over 2}\) , tức là hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ,{{ - m} \over 2})\) và đồng biến trên \(({{ - m} \over 2}, + \infty )\)

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +∞)\) thì phải có điều kiện \(( - 1,{\rm{ }} + \infty ) \in ({{ - m} \over 2}, + \infty )\)

  \( \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 2\)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x = {{ - m} \over 2}\) .

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1, +∞)\), ta phải có:

\(\eqalign{
& {{ - m} \over 2} \in ( - 1, + \infty ) \cr
& \Leftrightarrow {{ - m} \over 2} > - 1 \Leftrightarrow 1 > {m \over 2} \Leftrightarrow m < 2 \cr} \)

c) (C_m) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(x = {{ - m} \over 2}\)

\(⇔\) phương trình \(2x^2+ 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(Δ’ = m^2– 2m + 2 = (m-1)^2+ 1 > 0 ∀m\)

Vậy (C_m) luôn cắt \(O x\) tại hai điểm phân biệt.