Câu 21. Cho hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = - 5 + t \hfill \cr} \right.\) và

Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:

(A)

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)

(B)

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 2 + t; \hfill \cr} \right.\)

(C) \({{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z - 2} \over 2};\)

(D) \({{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z + 2} \over 2}.\)

Lời Giải:

d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)\); d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {0; - 2;3} \right).\)

Lấy \(M\left( {1 + t,0, - 5 + t} \right) \in d\) và \(N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in d'.\)

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1 - t,4 - 2t',10 + 3t' - t} \right).\)

MN là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 1 - t + 10 + 3t' - t = 0 \hfill \cr
- 8 + 4t' + 30 + 9t' - 3t = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3t' - 2t = - 9 \hfill \cr
13t' - 3t = - 22 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 3 \hfill \cr
t' = - 1 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(M\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;6;4} \right) = 2\left( { - 2;3;2} \right).\)

Vậy \(MN:{{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z + 2} \over 2}.\)

Chọn (D).