Câu 10. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(2 ; 1 ; 0)\) và mặt phẳng \((α): x + 3y - z - 27 = 0\). Tìm toạ độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \((α)\).

Giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \((α)\) và \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((α)\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM'\). Xét đường thẳng \(∆\) qua \(M\) và \(∆\) vuông góc với \((α)\).

Phương trình \(∆\) có dạng:

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 + 3t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\)

Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((α)\).

Thay các tọa độ \(x,y,z\) theo \(t\) từ phương trình \(\Delta\) và phương trình \((\alpha)\) ta được:

\(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow H(4; 7; -2)\) 

\(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua \((α)\) nên \(\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {MH} \)

Gọi \((x, y, z)\) là toạ độ của  \(M'\) ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = (x - 2; y - 1; z)\);  \(\overrightarrow {MH}  = (2; 6; -2)\)

\(\overrightarrow {MM'} \)=\(2\overrightarrow {MH} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr
y - 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr
z = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 4 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow M' (6; 13; -4)\)