Câu 11. Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\), đường cao \({\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \). Một đoạn thẳng \(AB\) thay đổi sao cho góc giữa \(AB\) và trục hình trụ bằng \(30^0\). \(A, B\) thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm \(I\) của \(AB\) là:

(A) Một mặt trụ;                      (B) Một mặt cầu;

(C) Một đường tròn;                (D) Một mặt phẳng.

Giải

Gọi \(A’\) là hình chiếu của \(A\) xuống mặt phẳng đáy thì \(AA’ = OO’\). Gọi \(I, M, N\) lần lượt là trung điểm của \(OO’, AB\) và \(AA’\).

Ta có: \(IA = IB\) và \(IM \bot AB\).

Mp(IMN) qua \(I\) và song song với hai mặt phẳng đáy.

Ta có: \(MN = AN.\tan {30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 3 }} = {a \over 2}\)

\( \Rightarrow MI = \sqrt {N{I^2} - M{N^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Vậy tập hợp trung điểm \(M\) của \(AB\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nằm trong mp\((IMN)\).
Chọn (C).