Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Câu 11.
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\); \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\); \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)
Giải
* Ta có \(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}} = \overline {{z^2}} + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)
\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) là số thực
Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)
Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực
* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)} = {{\overline z - z} \over {{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}} = - {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) \(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.
* \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)} = {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} = - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}} \Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.