Câu 19. Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng

(A) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\)               (B) \({{a\root 3 \of 3 } \over 8}\)

(C) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 8}\)               (D) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 2}\)

Giải

Chiều cao của khối nón là \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) và bán kính đáy bằng \({a \over 2}\) nên

\({V_n} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\)

Thể tích khối cầu bán kính R là \({V_c} = {4 \over 3}\pi {R^3}\).

Do đó \({{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} = {4 \over 3}\pi {R^3} \Leftrightarrow {R^3} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {32}} \Rightarrow R = {{a\root 3 \of {\sqrt 3 } } \over {\root 3 \of {32} }} = {{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\)

Chọn (A).