Câu 2.  Cho hình tứ diện \(ABCD\).  

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}. \overrightarrow{BC}=0. \)

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD\) và \(AC ⊥ DB\) thì \(AD ⊥ BC\).  

Giải

a) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}. (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

    \(\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}. (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\)

    \(\overrightarrow{AD}. \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}. (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}). \)

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được đẳng thức phải chứng minh.

b) \(AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=0,\)

    \(AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}=0\)

Từ đẳng thức a ta có:

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}. \overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC\).