Câu 2. Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì

(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.

(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.

(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.

(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.

Giải

Hình hộp nội tiếp một mặt cầu là hình hộp chữ nhật có đường chéo \(d = 2R\). Gọi \(x, y, z\) là các kích thước của hình hộp chữ nhật.

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\)

Áp dụng BĐT Cô – si cho 3 số dương ta có:

\(4{R^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}}  = 3\root 3 \of {{V^2}}  \Rightarrow {V^2} \le {\left( {{{4{R^2}} \over 3}} \right)^3}\)

\(V\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = z\).

Chọn (B).