Câu 20. Cho một hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh \(a\), góc nhọn bằng \({60^0}\). Khi đó thể tích của hình hộp là:

(A) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}\)                 (B) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)

(C) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}\)                  (D) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}\)

Giải

\(\Delta A'B'C'\) đều cạnh a

\(A'C' = a\,\,;\,\,B'D' = 2B'O' = a\sqrt 3 \)

Tương tự \(BA' = BC' = BB' = a\) nên hình chiếu \(H\) của \(B\) trên mp(A’B’C’D’) là tâm của tam giác đều \(A’B’C’\)

Ta có: \(BH = \sqrt {BB{'^2} - B'{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}}  = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

\({S_{A'B'C'D'}} = {1 \over 2}A'C'.B'D' = {1 \over 2}a.a\sqrt 3  = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)

Thể tích khối hộp là: \(V = B.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\) Chọn B.