Câu 28. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(b\) và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp là:

(A) \({3 \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)           (B) \({{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)
(C) \({3 \over 4}{b^3}\cos \alpha {\sin ^2}\alpha \)           (D) \({{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}\cos \alpha \sin \alpha \)

đáp án

Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\).

\(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {SAH} = \alpha \). I là trung điểm của BC, \(AH = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Trong tam giác vuông AHS có \(\cos \alpha  = {{AH} \over {SA}} \Rightarrow b\cos \alpha  = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow a = b\sqrt 3 \cos \alpha \)

Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{3\sqrt 3 } \over 4}{b^2}{\cos ^2}\alpha \)

Mặt khác \(SH = SA\sin \alpha  = b\sin \alpha \)

Thể tích hình chóp là \(V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SH = {{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)

Chọn B.