Câu 3. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\);

b) \(y =  \frac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\);

c) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).

Giải:

a) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:

\(∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) - (1^2+ 1)\)

\(= 3∆x + (∆x)^2\)

\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 + ∆x\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(∆y = f(2 + ∆x) - f(2) =  \frac{1}{2+\Delta x}  -  \frac{1}{2} = -  \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = -  \( \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - {1 \over {2. (2 + \Delta x)}}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Vậy \(f'(2) = -   \frac{1}{4}\).

c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\). Ta có:

\(∆y = f(∆x) - f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) =  \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \frac{2}{\Delta x-1}\) ; \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)  \( \frac{2}{\Delta x-1} = -2\).

Vậy \(f'(0) = -2\).