Câu 3. Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.

Giải

Giả sử ta có hình chóp \(S.ABCD\), có các cạnh bên \(SA = SB = SC = SD = ...\), kẻ  \(SH \bot (ABCD)\), ta chứng minh được \(△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △...\) suy ra \(HA = HB = HC = HD = ...\) \( \Rightarrow \) Đáy \(ABCD\)...., của hình chóp nội tiếp trong một đường tròn và chân \(H\) của đường cao \(SH\) là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dễ thấy, mọi điểm nằm trên đường cao \(SH\) đều cách đều các đỉnh \(A, B, C, D\) của đáy. Trong tam giác \(SAH\) chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \(SA\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I\). Dễ thấy: \(IS = IA = IB = IC = ID = ...\) hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.