Câu 5. Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.

Giải

Kẻ \(AD\bot BC, OH \bot AD\) thì dễ thấy \(OH\) chính là đường cao của hình chóp.

Vì \(OD.BC = OB.OC\) nên \(OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\) . Từ đó suy ra

\(AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) = \(\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .

Vì \(OH.AD = OA.OD\) nên

\(OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}  = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)