c) \(u_n= \frac{1}{2n^{2}-1}\);                        d) \(u_n= sinn + cosn\)

Hướng dẫn giải:

a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  và không bị chặn trên vì với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}\).

b) Dễ thấy \(u_n > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  

Mặt khác, vì \(n ≥ 1\) nên \(n^2≥ 1\) và \(2n ≥ 2\).

Do đó \(n(n + 2) =  n^2+ 2n ≥ 3\), suy ra \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\).

Vậy dãy số bị chặn \(0 < u_n\) \(\leq \frac{1}{3}\) với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\)  

c) Vì \(n ≥ 1\) nên \(2n^2- 1 > 0\), suy ra \( \frac{1}{2n^{2}-1} > 0\)

Mặt khác \(n^2 ≥ 1\) nên \(2n^2≥ 2\) hay \(2n^2- 1≥ 1\), suy ra \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1\).  

Vậy \(0 < u_n ≤ 1\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\), tức dãy số bị chặn.

d) Ta có: \(sinn + cosn = \sqrt 2sin(n +  \frac{\pi }{4})\), với mọi \(n\). Do đó:

\(-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

Vậy \(-\sqrt 2  < u_n< \sqrt 2\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).