Bài 50 trang 87 sgk Toán lớp 9 tập 2

Câu 50. Cho đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(M\) là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(MI = 2MB\).

a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm \(I\) nói trên.

Hướng dẫn giải:

a) Vì \(\widehat{BMA}\) = \(90^0\)  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông \(MIB\) có \(tg\widehat{AIB}\) = \(\frac{MB}{MI}\) = \(\frac{1}{2}\) =>\(\widehat{AIB}\) = \(26^0 34'\) 

Vậy \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm \(M\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(AB\) thì điểm \(I\) cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới góc \(26^0 34'\) , vậy điểm \(I\) thuộc hai cung chứa góc \(26^0 34'\) dựng trên đoạn thẳng \(AB\) (hai cung \(\overparen{AmB}\) và \(\overparen{Am'B}\))

Phần đảo:

Lấy điểm \(I'\) bất kì thuộc \(\overparen{AmB}\)

hoặc \(\overparen{Am'B}\), \(I'A\) cắt đường tròn đường kính \(AB\) tại \(M'\).

Tam giác vuông \(BMT\), có \(tg\widehat{I'}\) = \(\frac{M'B}{M'I'}\) = \(tg26^034’\)

Kết luận: Quỹ tích điểm \(I\) là hai cung \(\overparen{AmB}\) và \(\overparen{Am'B}\)