Câu 6. Cho \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\,\,;\,\,B\left( { - 4; - 2;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:

(A) 3                 (B) 1                   (C) 2                  (D) \({1 \over 2}\)

Giải

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} \left( {4;0; - 3} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
0\,\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 3 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {0; - 25;0} \right) = - 25\left( {0;1;0} \right) \cr} \)

Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(y + 2 = 0\).

\( \Rightarrow h = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\)
Chọn (A).