Câu 6. Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = x\sin x{x \over 2};\)        b) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)

\(c)\,f\left( x \right) = x{e^x};\)               \(d)\,f\left( x \right) = {x^3}\ln x\)

Giải

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x\sin x{x \over 2}dx}  =  - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx =  - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C} \)

b) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)

Tính \(\int {x\sin xdx} \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \int {x\sin xdx =  - x\cos x + \int {\cos xdx =  - x\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + } } \,C\)

Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x\cos x - 2\sin x + C} \)

c) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx}  = x{e^x} - {e^x}}  + C\)

d) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x}  - {1 \over 4}\int {{x^3}dx}  = {1 \over 4}x^4\ln x - {{{x^4}} \over {16}} + C\)