Câu 6. Chứng minh rằng:
a) \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\);

b) \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\);

c) \(\sqrt{10}[{(1 +\sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

giải:

a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1. 10 + C_{10}^2{. 10^2}\)

\(+ . . . + C_{10}^9{. 10^9} + {10^{10}}) - 1\)

            \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  \ldots  + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

b) Ta có

\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)

                  \(= (1 + C_{100}^1. 100 + C_{100}^2{100^2} + . . . + \)

                  \(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)

                     \( = {100^2} + C_{100}^2{. 100^2} + . . . + C_{100}^{99}{. 100^{99}} + {100^{100}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(10 000\) suy ra \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

c) \({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - . . . \)

\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(= 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - . . . - C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}}\)

\(+ {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)=

\( 2\sqrt {10} . \left[ {C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + . . + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\)

\(= 2\left( {C_{100}^1. 10 + C_{100}^3{{. 10}^2} + . . . + C_{100}^{99}{{. 10}^{50}}} \right)\)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.