Câu 65. Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Tứ giác \(EFGH\) là hình gì ? Vì sao ?

giải:

Ta có \(EB = EA, FB = FC\) (do \(E,F\) là trung điểm của \(AB,BC\))

\(EF\) là đường trung bình của \(∆ABC\)

Do đó \(EF // AC\)  (1)

Do \(G,H\) là trung điểm của \(CD,DA) nên

\( HG\) là đường trung bình của \(∆ADC\)

Do đó \(HG // AC\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF // HG\)

Chứng minh tương tự \(EH // FG\)

Do đó \(EFGH\) là hình bình hành.

Ta có: \(EF // AC\) và \(EH//BD\) mà \(AC\bot BD\) nên \(EF\bot EH\)

Hay \(\widehat{FEH} = 90^0\)

Hình bình hành \(EFGH\)  có \(\widehat{E} = 90^0\) nên là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).