Câu 67. Cho \(a,b\) là hai số dương Gọi \(K\) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2}\) và đường thẳng \(y=-bx\). Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay \(K\) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của \(a\) và \(b\). Khi đó \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện sau:

\(\left( A \right)\,{b^4} = 2{a^5}\,;\)                     \(\left( B \right)\,{b^3} = 2{a^5}\,;\)

\(\left( C \right)\,{b^5} = 2{a^3}\,;\)                         \(\left( D \right)\,{b^4} = 2{a^2}.\)

Giải

\(a{x^2} = - bx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {b \over a} \hfill \cr} \right.\)

\(V = \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( { - bx} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( {a{x^2}} \right)}^2}dx} \)

\(= \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {\left( {{b^2}{x^2} - {a^2}{x^4}} \right)} dx =\pi \left( {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right)\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0 \)

\(=  - \pi \left( {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right) = {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}\)

Vì \({{{b^5}} \over {{a^3}}}\) là hằng số nên ta phải chọn (C).

Khi đó \(V = {{4\pi } \over {15}}.\)