Câu 69. Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {3x + 1} \)                  b) \(y = \sqrt {4x - {x^2}} \)

c) \(y = x + \sqrt x \)                     d) \(y = x - \sqrt x \)

Giải

a)TXĐ: \(D = \left[ { - {1 \over 3}; + \infty } \right)\)

\(y' = {3 \over {2\sqrt {3x + 1} }} > 0\,\forall x >  - {1 \over 3}\)

Hàm số đồng biến \(\left( { - {1 \over 3}; + \infty } \right)\), hàm số không có cực trị.

b) TXĐ: \(D = \left[ {0;4} \right]\)

\(y' = {{4 - 2x} \over {2\sqrt {4x - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 2;\,y\left( 2 \right) = 2\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\); giá trị cực đại \(y(2) = 2\).

c) TXĐ:  \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)

\(\eqalign{
& y' = 1 + {1 \over {2\sqrt x }} = {{2\sqrt x + 1} \over {2\sqrt x }} \cr
& \cr} \)

\(y' = 1 + {1 \over {2\sqrt x }} > 0\,\forall x > 0\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số không có cực trị.

d) TXĐ: \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)

\( y' = 1 - {1 \over {2\sqrt x }} \)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 4}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = {1 \over 4}\); giá trị cực tiểu \(y\left( {{1 \over 4}} \right) =  - {1 \over 4}\)