Câu 7.  Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(BD\) của tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) và \(P\) là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng: 

a) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\)

b) \(\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}). \)

Giải

(H. 3. 6)

a) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM},\)

    \(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}. \)

Cộng từng vế ta được :

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}. \)

b) \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI},\)

    \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI},\)

    \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CI},\)

    \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DI}. \)

Cộng từng vế ta được:

\(4\overrightarrow {PI}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD}  + (\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI} ) + (\overrightarrow {CI}  + \overrightarrow {DI} )\)

\( \Leftrightarrow\)\({PI}=\frac{1}{4} (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}). \)