Câu 7. Cho \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: 

   \(S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}. \overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC})^{2}}. \)

Giải

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB. AC. sinA =\)\(\frac{1}{2}AB. AC. \sqrt{1-cos^{2}A}\)

\(=\frac{1}{2}AB. AC. \sqrt{1-\left ( \frac{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|} \right )^{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}. \overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC})^{2}}. \)