Câu 8.  Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}. \) Chứng minh rằng: 

 a) \(AB ⊥ CD\);

 b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).

Giải

(h. 3. 21)

a) \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\)

\(=AB. AD. \cos\widehat{BAD}-AB. AC. \cos\widehat{BAC} =0\)

 Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}). \)

Ta có \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} . (\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AC}  - A{B^2})\)

\(= {1 \over 2}(AB. AD. \cos\widehat{BAD}+AB. AC. \cos\widehat{BAC}-AB^2)\)

\(={1 \over 2}(AB. AD. \cos60^0+AB. AC. \cos60^0-AB^2)\)

\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow  AB ⊥ MN\).

Chứng minh tương tự ta được: \(CD ⊥ MN\).