Câu 85. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\).  Gọi \(E, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, CD\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE\), \(N\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE\).

a) Tứ giác \(ADFE\) là hình gì ? Vì sao ?

b) Tứ giác \(EMFN\) là hình gì ? Vì sao ?

giải:

a) Tứ giác \(ADFE\) là hình vuông.

Giải thích:

Tứ giác \(ADFE\) có \(AE // DF\), \(AE = DF\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(ADFE\) có \(\widehat{A} = 90^0\) nên là hình chữ nhật.

Theo giả thiết \(AB=2AD\) mà \(AE={AB\over 2}\) nên \(AE=AD={AB\over 2}\)

Hình chữ nhật \(ADFE\) có \(AE = AD\) nên là hình vuông.

b) Tứ giác \(EMFN\) là hình vuông.

Giải thích:

Tứ giác \(DEBF\) có \(EB // DF, EB = DF\) nên là hình bình hành.

Do đó \(DE // BF\)

Tương tự \(AF // EC\)

Suy ra \(EMFN\) là hình bình hành.

Theo a, \(ADFE\) là hình vuông nên \(ME = MF, ME  ⊥ MF\).

Hình bình hành \(EMFN\) có \(\widehat{M} = 90^0\) nên là hình chữ nhật, lại có \(ME = MF\) nên là hình vuông.