Câu 9.  Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài mặt phẳng \((ABC)\). Trên đoạn \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MS}\) = \(-2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. \) Chứng minh rằng ba véctơ  \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.

Giải

(H. 3. 8)

\(\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{MS}\) + \(\overrightarrow{SC}\) + \(\overrightarrow{CN}\)

          = \(\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}\) + \(\overrightarrow{SC}\) + \(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}. \) (1)

\(\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BN}\)

          = \(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}\) + \(\overrightarrow{AB}\) + \(-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. \) (2)

Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được:

\(3\overrightarrow{MN}\) = \(\overrightarrow{SC}\) + \(2\overrightarrow{AB}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. \)

Vậy \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.