Câu 11. Cho hình vuông A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A ₂ B ₂ C ₂ D ₂ , A ₃ B ₃ C ₃ D ₃ , …, A _n B _n C _n D _n , … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A _n , B _n , C _n , và D _n tương ứng trên các cạnh A _n-1 B _n-1 , B _n-1 C _n-1 , C _n-1 D _n-1 và D _n-1 A _n-1 sao cho A _n-1 A _n = 1cm và A _n B _n C _n D _n là một hình vuông (h. 3. 2). Xét dãy số (u _n ) với u _n là độ dài cạnh của hình vuông A _n B _n C _n D _n .

Hãy cho dãy số (u _n ) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Giải:

Với mỗi \(n \in \mathbb N^*\), xét các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\) và \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\) ta có

\(\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} \cr} \)