Câu 11. Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\widehat {BAD} = 60^\circ . \)

Chứng minh rằng :

a. AB ⊥ CD;

b. Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(IJ \bot AB\) và \(IJ \bot CD. \)

Giải

a. Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} . \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AC}   \cr  &  = AB. AD. \cos \widehat {BAD} - AB. AC. \cos \widehat {BAC} = 0  \cr  &  \Rightarrow AB \bot CD. \cr} \)

b.

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AJ}   \cr  &  = {1 \over 2}\overrightarrow {BA}  + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \cr} \)

Suy ra :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {IJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} . \overrightarrow {AC}  - A{B^2}} \right)  \cr  &  ={1 \over 2} \left( {AB. AD. \cos 60^\circ } + AB. AC. \cos 60^\circ  - A{B^2} \right) \cr&= 0  \cr  &  \Rightarrow AB \bot IJ \cr} \)

Mặt khác :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {CD} . \overrightarrow {IJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right). \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow {AC} . \overrightarrow {AD}  + {{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {CA} . \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} . \overrightarrow {BA}  - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AD} . \overrightarrow {AC} } \right)  \cr  &  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} . \left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) =  - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {CD}  = 0  \cr  &  \Rightarrow CD \bot IJ \cr} \)