Câu 15. Hình 5. 5 là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x ₁ , x ₂ , x ₃ và x ₄ :

a. Hàm số có liên tục hay không ?

b. Hàm số có đạo hàm hay không ? Hãy tính đạo hàm nếu có.

Giải:

Căn cứ vào hình ta nhận thấy :

+ Hàm số đã cho gián đoạn tại các điểm x ₁ và x ₃ ; vì đồ thị hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm M ₁ và M ₃ .

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x ₂ và x ₄ ; vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm M ₂ và M ₄

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x ₂ ; vì điểm M ₂ đồ thị là đường “gấp khúc” (và hiển nhiên tại đó không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số), giống như đồ thị hàm số \(y = |x|\).

+ Hàm số có đạo hàm tại điểm M ₄ và \(f'\left( {{x_4}} \right) = 0;\) vì tại điểm M ₄ đồ thị của hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.