Câu 16. Cho dãy số (u _n ) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){. 2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng (u _n ) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){. 2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Giải

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u _n ), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){. 2^n} > 0\;\forall n \ge 1. \)

Do đó (u _n ) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){. 2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){. 2^1}. \) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u _n ) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){. 2^k} = 1 + \left( {k - 1} \right){. 2^k} + \left( {k + 1} \right){. 2^k} = 1 + k{. 2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).