Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3).
a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.
b) Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.
c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lời Giải:

Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1,0,0} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} .\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow d\left( {B;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} . \cr
& \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = d\left( {B;Ox} \right). \cr} \)

Vậy A và B cách đều trục Ox.
b) Điểm \(C \in Oz\) nên \(C\left( {0,0,c} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1,3,c + 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2, - 1,c - 3} \right).\)
Tam giác ABC vuông tại C nên

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 3 + \left( {c + 1} \right)\left( {c - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 5 + {c^2} - 2c - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {c^2} - 2c - 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 4 \hfill \cr
c = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề là \(C\left( {0,0,4} \right)\) hoặc \(C\left( {0,0, - 2} \right).\)
c) Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là \(A'\left( {0, - 3, - 1} \right)\) và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là \(B'\left( {0,1,3} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B'}  = \left( {0,4,4} \right) = 4\left( {0,1,1} \right).\)

Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {0,1,1} \right)\) và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là:

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 3 + t \hfill \cr
z = - 1 + t \hfill \cr} \right..\)

d) Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {a,b,0} \right).\)
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0.\)
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr
1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0 \hfill \cr
4 + 1 + 9 + 4a - 2b + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
d = 0 \hfill \cr
- 2a + 6b = - 11 \hfill \cr
4a - 2b = - 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = {{ - 53} \over {10}} \hfill \cr
b = - {{18} \over 5} \hfill \cr
d = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {{53} \over 5}x + {{36} \over 5}y = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} + 53x + 36y = 0.\)