Câu 21. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD

Giải:

Định lí Menelaus

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc

phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\({{MB} \over {MC}}. {{NC} \over {NA}}. {{PA} \over {PB}} = 1\)

Áp dụng định lí để giải toán

Gọi {I} = PR ∩ AC

Trong mp(ACD) goi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC

với cát tuyến PRI ta có

\({{PA} \over {PB}}. {{RB} \over {RC}}. {{IC} \over {IA}} = 1 \Rightarrow 1. 2. {{IC} \over {IA}} = 1\)

\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD

với cát tuyến IQS ta có :

\({{IC} \over {IA}}. {{QD} \over {QC}}. {{SA} \over {SD}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}. 1. {{SA} \over {SD}} = 1 \)

\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)