Câu 24. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO ₁ vuông góc với SC, dễ thấy mp(BO ₁ D) vuông góc với SC. Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO ₁ và DO ₁ . Mặt khác OO ₁ ⊥ BD, OO ₁ < OC mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ . \)

Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)

Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi:

\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO ₁ D cân tại O ₁ )

\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ  \Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)

Ta lại có : \(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS} = OC. {{SA} \over {SC}}\)

Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3  \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 . OC. {{SA} \over {SC}} \Leftrightarrow SC = \sqrt 3 . SA\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}}  = \sqrt 3 . x \Leftrightarrow x = a\)

Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚