Câu 3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x ₀ (a là hằng số).

a. \(y = ax + 3\)

b. \(y = {1 \over 2}a{x^2}\)

Giải:

a. \(f(x) = ax + 3\), cho x ₀ một số gia Δx, ta có:

\(\eqalign{  & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  = a\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 3 - \left( {a{x_0} + 3} \right) = a\Delta x  \cr  &  \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \cr} \)

b.

\(\eqalign{  & f\left( x \right) = {1 \over 2}a{x^2},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}a{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - {1 \over 2}ax_0^2  \cr  &  = {1 \over 2}a\Delta x\left( {2{x_0} + \Delta x} \right)  \cr  &  \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {1 \over 2}a\left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = a{x_0} \cr} \)