Câu 32. Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau

Giải

Giả sử cho n-giác đều A ₁ A ₂ …A _n và B ₁ B ₂ …B _n có tâm lần lượt là O và O’

Đặt \(k = {{{B_1}{B_2}} \over {{A_1}{A_2}}} = {{O'{B_1}} \over {O{A_1}}}\) .

Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và  C ₁ C ₂ …C _n là ảnh của đa giác A ₁ A ₂ …A _n qua phép vị tự V

Hiển nhiên C ₁ C ₂ …C _n cũng là đa giác đều và vì \({{{C_1}{C_2}} \over {{A_1}{A_2}}} = k\) nên C ₁ C ₂ = B ₁ B ₂

Vậy hai n-giác đều C ₁ C ₂ …C _n và B ₁ B ₂ …B _n có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C ₁ C ₂ …C _n thành B ₁ B ₂ …B _n

Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến A ₁ A ₂ …A _n thành B ₁ B ₂ …B _n

Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau