Câu 34. Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để :

a. Cả ba đồng xu đều sấp ;

b. Có ít nhất một đồng xu sấp ;

c. Có đúng một đồng xu sấp.

Giải

a. Gọi \(A_i\) là biến cố “Đồng xu thứ i sấp” (\(i = 1,2,3\)), ta có: \(P\left( A \right) = {1 \over 2}. \) Các biến cố \({A_1},{\rm{ }}{A_2},{\rm{ }}{A_3}\) độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: \(P({A_1}{A_2}{A_3}) = P({A_1})P({A_2})P({A_3})=  {1 \over 8}\)

b. Gọi \(H\) là biến cố “Có ít nhất một đồng xu sấp”. Biến cố đối của biến cố \(H\) là \(\overline H \) :”Cả ba đồng xu đều ngửa”. Tương tự như a ta có \(P\left( {\overline H } \right) = {1 \over 8}. \) Vậy :

\(P\left( H \right) = 1 - {1 \over 8} = {7 \over 8}\)

c. Gọi \(K\) là biến cố “Có đúng một đồng xu sấp”. Ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right)\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được :

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = {1 \over 8}\)

Tương tự  \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = {1 \over 8}\).

Từ đó \(P\left( K \right) = {3 \over 8}\)