Câu 37. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Chứng minh rẳng

a. mp(BDA’) // mp(B’D’C)

b. Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G ₁ , G ₂ của hai tam giác BDA’ và B’D’C

c. G ₁ và G ₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau

d. Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’,B’B cùng nằm trên một mặt phẳng

Giải:

a) Chứng minh ( BDA’) // (B’D’C)

Ta có tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C

⇒ hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song nhau từng đôi một nên chúng song song.

Vậy (BDA’) // (B’D’C).

b) Chứng minh G ₁ , G ₂ ∈ AC’

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.

Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G ₁ , G ₂ lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C. Ta chứng minh G ₁ , G ₂ lần lượt là trong tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.

Thật vậy, ta có ∆G ₁ OA đồng dạng ∆G ₁ A’C’ ( vì AC // A’C’)

\( \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\)

⇒ G ₁ là trọng tâm ∆A’BD.

Tương tự, G ₂ là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G ₁ , G ₂ .

c) Chứng minh AG ₁ = G ₁ G ₂ = G ₂ C’

Theo trên , ta có:

\({{A{G_1}} \over {{G_1}C'}} = {{AO} \over {A'C'}} = {1 \over 2}\) ( vì ∆G ₁ OA đồng dạng ∆G ₁ A’C’) \( \Rightarrow A{G_1} = {1 \over 3}AC'\)  (1)

Tương tự: \({{C'{G_2}} \over {{G_2}A}} = {{C'O'} \over {CA}} = {1 \over 2}\) ( vì ∆G ₂ C’O' đồng dạng ∆G ₂ AC) \( \Rightarrow C'{G_2} = {1 \over 3}AC'\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AG ₁ = G ₁ G ₂ = G ₂ C’.

d)

Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.

Ta có: \(\left\{ {\matrix{   {MN//BD}  \cr   {SP//BD}  \cr } } \right. \Rightarrow MN//SP\)

Gọi (α) = (MN, SP)

Ta có : \(\left\{ {\matrix{   {PQ//DC'}  \cr   {MS//AB'}  \cr } } \right. \Rightarrow PQ//MS\)

( vì DC’ // AB’)

⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).

Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).

Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).

Mặt khác vì \(\left\{ {\matrix{   {MS//AB'}  \cr   {NP//AD'}  \cr } } \right. \)  nên (MNPQRS) // (AB’D').