Câu 40. Cho cấp số cộng (u _n ) với công sai khác 0. Biết rằng các số u ₁ u ₂ , u ₂ u ₃ và u ₃ u ₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Giải:

Vì cấp số cộng (u _n ) có công sai khác 0 nên các số u ₁ , u ₂ , u ₃ đôi một khác nhau \(\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}. {u_2} \ne {\rm{ }}0\) và \(q\ne1\).

Ta có: \({u_2}{u_3} = {\rm{ }}{u_1}{u_2}. q\) và \({u_3}{u_1} = {\rm{ }}{u_1}{u_2}. {q^2}\).

Từ đó suy ra \({u_3} = {u_1}q = {u_2}{q^2}\,\left( {\text{vì}\,{u_1}{u_2} \ne 0} \right). \) Do đó \({u_1} = {\rm{ }}{u_2}q\) (vì \(q \ne0\) theo giả thiết)

Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) là một cấp số cộng nên \({u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}\), suy ra :

\({u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0\,\left( \text{vì }{{u_2} \ne 0} \right) \Leftrightarrow q = - 2\,\left( {\text{vì}\,q \ne 1} \right)\)