Câu 42. Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Giải:

Kí hiệu u ₁ , u ₂ , u ₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân nói trong đề ; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u ₁ , u ₂ và u ₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Ta có: u ₁ ≠ 0, vì nếu ngược lại thì u ₂ = u ₃ = 0, và do đó  \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne {{148} \over 9}. \)

Từ các giả thiết của đề ta có :  \({u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\,\text{ và }\,{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& {u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr
& {u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Xét hai trường hợp sau :

* Trường hợp 1 : q ≠ 1. Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u ₁ ≠ 0) và  \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)

Từ đó :

\(\eqalign{
& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}. {{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr
& = {u_1}. {{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}. {{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr
& \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai

\(d = {4 \over 9}. \)

* Trường hợp 2 : q = 1. Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\) . Vì thế  \({{148} \over 9} = 3{u_1}. \)

Suy ra:  \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}\)

Hiển nhiên ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0. Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :

\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\,\text{ và }\,{u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}. \)