Câu 49. Cho dãy hình vuông H ₁ , H ₂ , …, H _n ,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u _n , p _n và S _n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H _n .

a. Giả sử dãy số (u _n ) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p _n ) và (S _n ) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b. Giả sử dãy số (u _n ) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p _n ) và (S _n ) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Giải:

Theo giả thiết ta có :

\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)

a. Gọi d là công sai của cấp số cộng (u _n ) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :

\({p_{n + 1}} - {p_n} = 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)

Vậy (p _n ) là cấp số cộng.

\({S_{n + 1}} - {S_n} = \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S _n ) không là cấp số cộng.

b. Gọi q là công bội của cấp số nhân (u _n ), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :

\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)

\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {q^2}\) (không đổi)

Từ đó suy ra các dãy số (p _n ) và (S _n ) là cấp số nhân.