Câu 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M ₁ là điểm đối xứng với M qua A, M ₂ là điểm đối xứng với M ₁ qua B, M ₃ là điểm đối xứng với M ₂ qua C

a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M ₃ là một phép đối xứng tâm

b. Tìm quỹ tích điểm M ₃

Giải

a. Gọi I là trung điểm của MM ₃ , ta chứng minh I là điểm cố định

Thật vậy, ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \)

Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M ₃ là phép đối xứng qua điểm I

b. Quỹ tích điểm M ₃ là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm với tâm I