Câu 51. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết :

- Ở Cơ sở A : Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B : Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u _n và v _n tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a. Hãy tính u ₂ , u ₃ , v ₂ , v ₃ .

b. Chứng minh rằng dãy số (u _n ) là một cấp số cộng và dãy số (v _n ) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau ?

d. Cũng hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Giải:

a.

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 500 = 8000 + 500 = 8500 \cr
& {u_3} = {u_2} + 500 = 8500 + 500 = 9000 \cr
& {v_2} = {v_1} + {v_1}. 0,07 = {v_1}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_1}. 1,07 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6000. 1,07 = 6420 \cr
& {v_3} = {v_2} + {v_2}. 0,07 = {v_2}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_2}. 1,07 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6420. 1,07 = 6869,4 \cr} \)

b. Theo giả thiết của toán, ta có :

\({u_1} = 8000\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 500\) với mọi \(n ≥ 1\) (1)

\(\eqalign{
& {v_1} = 6000\,\text{ và }\,{v_{n + 1}} = {v_n} + {v_n}. 0,07 \cr
& = {v_n}\left( {1 + 0,07} \right) = {v_n}. 1,07 \text{ với mọi } n ≥ 1 \;(2)\cr}\)

Từ (1) suy ra (u _n ) là một cấp số cộng với công sai \(d = 500\) và số hạng đầu u ₁ = 8000.

Số hạng tổng quát : \(u_n= 8000 + (n – 1). 500 = 7500 + 500n\)

Từ (2) suy ra (v _n ) là một cấp số nhân với công bội \(q = 1,07\) và số hạng đầu v ₁ = 6000.

Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}6000{\rm{ }}. {\rm{ }}{\left( {1,07} \right)^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)

c. Kí hiệu A ₂₀ và B ₂₀ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở B. Từ kết quả phần b, ta có :

A ₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng u _n . Do đó :

\({A_{20}} = {{20. \left( {2{u_1} + 19d} \right)} \over 2} = 10. \left( {2. 8000 + 19. 500} \right) = 255000\)

B ₂₀ là tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (v _n ). Do đó :

\({B_{20}} = v_1{{1 - {q^{20}}} \over {1 - q}} = 6000. {{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{20}}} \over {1 - 1,07}} = 245972,9539\)

Từ đó, nếu cần khoan giếng sâu 20m thì nên thuê cơ sở B.

d. Kí hiệu A ₂₅ và B ₂₅ tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và theo cách tính giá của cơ sở B.

\({A_{25}} = {{25. \left( {2{u_1} + 24d} \right)} \over 2} = 12,5. \left( {2. 8000 + 24. 500} \right) = 350000\)

\({B_{25}} = v_1{{1 - {q^{25}}} \over {1 - q}} = 6000. {{1 - {{\left( {1,07} \right)}^{25}}} \over {1 - 1,07}} = 379494,2263\)

Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25m thì nên thuê cơ sở A.