Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 58. Tìm giới hạn của dãy số (u n ) xác định bởi
\({u_n} = {1 \over {1. 2}} + {1 \over {2. 3}} + . . . + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}. \)
Hướng dẫn : Với mỗi số nguyên dương k, ta có
\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\)
Giải:
\({u_n} = \left( {1 - {1 \over 2}} \right) + \left( {{1 \over 2} - {1 \over 3}} \right) + . . . \)
\(+ \left( {{1 \over {n - 1}}}-{1 \over n} \right) + \left( {{1 \over n} - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1 - {1 \over {n + 1}}\)
Do đó \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1\)