Câu 6. Với mỗi số nguyên dương n, đặt \({u_n} = {7. 2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\)   (1) . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u _n chia hết cho 5.

Giải:

+) Với \(n = 1\), ta có:

\({u_1} = {7. 2^{2. 1 - 2}} + {3^{2. 1 - 1}} = 7 + 3 = 10\)  \(\vdots\) \( 5\)

Suy ra (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = [{7. 2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\) \(\vdots\) \( 5\)

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, ta có :

\(\eqalign{
& {u_{k + 1}} = {7. 2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr
& = {4. 7. 2^{2k - 2}} + {9. 3^{2k - 1}} \cr
& = 4\left( {{{7. 2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5. {3^{2k - 1}} \cr
& = 4. {u_k} + {5. 3^{2k - 1}}\,\, \cr} \)

Vì \(u_k \) \(⋮\) \(5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho \(5\) ta được điều cần chứng minh.