Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 . \)

a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.

e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Giải

Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S. ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).

a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH.

SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SH = a\sqrt 2 . {{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)

b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK

(EK là đường cao của tam giác SEF).

\(EK = {{EF. SH} \over {SF}} = {{a. {{a\sqrt 6 } \over 2}} \over {\sqrt {{{6{a^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 6 } \over {\sqrt 7 }} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)

c. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \({{a\sqrt {42} } \over 7}\)

d.

Gọi C ₁ là  trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC ₁ ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC ₁ và song song với BD. Kí hiệu H ₁ là giao điểm của AC ₁ và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B ₁ D ₁ , trong đó B ₁ D ₁ đi qua H ₁ và song song với BD. Vậy thiết diện của S. ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB ₁ C ₁ D ₁ .

Ta có: BD ⊥ (SAC), B ₁ D ₁ // BD

Nên B ₁ D ₁ ⊥ (SAC), suy ra B ₁ D ₁ ⊥ AC ₁ .

Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}. {B_1}{D_1}\)

\(A{C_1} = {{a\sqrt 6 } \over 2},{B_1}{D_1} = {2 \over 3}BD\) (vì H ₁ là trọng tâm tam giác SAC)

Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}. {{a\sqrt 6 } \over 2}. {2 \over 3}a\sqrt 2  = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC ₁ cắt AC ₁ tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P).

Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P).

\(\sin \widehat {BAJ} = {{BJ} \over {BA}} = {{HI} \over {BA}} = {{{1 \over 2}C{C_1}} \over {BA}}\)

\(= {{{1 \over 4}SC} \over {BA}} = {{{1 \over 4}a\sqrt 2 } \over a} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vậy góc giữa BA và mp(P) là α mà \(\sin \alpha  = {{\sqrt 2 } \over 4},0^\circ  < \alpha  < 90^\circ . \)