Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 8. a. Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng.
b. Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.
Giải
a. Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho \(\overrightarrow n = k. \overrightarrow a + l. \overrightarrow b \)
suy ra \(\overrightarrow n . \overrightarrow n = k\overrightarrow a . \overrightarrow n + l\overrightarrow b . \overrightarrow n = 0 \Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0 \)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0 \)
\(\Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) (vô lí)
vậy \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng
b. Giả sử ba vecto cùng vuông góc với \(\overrightarrow n \) là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)
Tức là \(\overrightarrow a . \overrightarrow n = \overrightarrow b . \overrightarrow n = \overrightarrow c . \overrightarrow n = 0\)
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto không cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n \) là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ a)
Khi đó \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow n . \) Nhân vô hướng hai vế với \(\overrightarrow n ,\) ta có \(\overrightarrow c . \overrightarrow n = x\overrightarrow a . \overrightarrow n + y\overrightarrow b . \overrightarrow n + z{\overrightarrow n ^2}\) suy ra \(z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,\) tức là \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b . \)
Vậy các vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
Nếu ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d 1 ,d 2 ,d 3 đồng phẳng tức là ba đường thẳng d 1 ,d 2 ,d 3 cùng song song với một mặt phẳng.