Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Câu 30. Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có
\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\,\,\,(1)\)
Tương tự, \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên
\(\eqalign{
& 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr
& 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)
Từ (2), (3) suy ra
\(2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}\,\,(4)\)
Thay (4) vào (1), ta có
\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2} - B{D^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr} \)