Câu 77. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0

b) a ² b ² + b ² c ² + c ² a ² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - 2\sqrt {ab} + b) + (b - 2\sqrt {bc} + c) \cr&\;\;\;\;\;\;+ (c - 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\sqrt a - \sqrt b )^2} + {(\sqrt b - \sqrt c )^2} + {(\sqrt c - \sqrt a )^2} \ge 0 \cr} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Ta có:

a ² b ² + b ² c ² + c ² a ² ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a ² b ² + 2b ² c ² + 2c ² a ² ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a ² b ² – 2a ² bc+ a ² c ² ) + (a ² c ² – 2c ² ab +b ² c ² ) +(a ² b ² – 2b ² ac +b ² c ² ) ≥ 0

⇔  (ab – ac) ² + (ac – bc) ² + (ab – bc) ² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0